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袖珍电子书:什么是无限接近? - 袁萌专栏

[日期:2013-03-23] 来源:  作者: [字体: ]

    现在看起来,引入无穷小,扩展实数系是顺理成章之事。那么,什么叫“无限地接近”?在超实数系里面,有什么新说法?

        在《基础微积分》电子版教材第一章第六节第35页,J.Keisler引入以下定义:

        DEFINITION

      Two hyperreal numbers b and c are said to be infinitely close to each other(相互无限地接近)in symbols b ≈c,if their difference b - c is infinitesimal, b≈c means that b is not infinitely close to c.

         从定义可知,如果两个超实数相差是无穷小,则称两者”无限地接近”,此定义非常符合人们的直觉观念。以下事实是明显的:如果ε是无穷小,则有公式:bb+ε;如果b是无穷小,则其充要条件是,b≈0,也就是说,b是无穷小,可以用b≈0来表示;如果bc都是实数,而且b≈c,则必有b=c。由此看来,无限地接近“≈”与等号“=”相近,但是,又有不同之处。这三件事情要牢记在心。

             在《基础微积分》电子版教材第一章第六节第36页,J.Keisler给出以下定义:

          DEFINITION

         Letb be a hyperreal numben.The standard part of b,denoted by st(b),is the real number which is infinitely close to b.Infinite hyperreal numbers do not have standard part.

          这个定义十分关键,必须彻底弄明白。意思是说,每一个有限超实数都有一个所谓的“标准部分”无限地接近该超实数,记为st(b)

           假定ab是超实数,则以下等式成立:

1st(-a)=-st(a)

  (2) st(a+b)=st(a)+st(b)

3st(a-b)=st(a)-st(b)

4st(ax b)=st(a) x st(b)

  (5)如果st(b)不等于零,则有st(a/b)=st(a)/st(b)

(6)如果a≤b则有st(a)≤st(b)

       如果b是实数,则st(b)=b;而且,一般而言,当b是超实数时,b=st(b)+ε,此处,ε为某个无穷小。

          说明:我们在此提出一个很有趣味的问题:如果这种“无限地接近”的观念能够被中学生所接受,那么,他们一定能够理解与掌握“st”的运算法则。如此以来,求导数(包括微分),求定积分都不成为问题了。微积分的初步知识,岂不是完全可以“下放”到中学去讲授?我们把话说穿了,微积分学(本质上)不就是这点儿“事情”吗?







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