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袖珍电子书:关于实数轴(连续统)与几何直线 - 袁萌专栏

[日期:2013-03-27] 来源:  作者: [字体: ]

        受好奇心的驱使,我突发奇想:实数轴与几何直线两者相比,究竟哪一个更长一些?为什么?

          给定一条实数轴(注意“给定”两字),无论其长度有多长,它应该是一个完全确定的“数学对象”(被”锁定“),不是橡皮绳子,可以随意拉长。所以,把它放在一条抽象的几何直线上应该只占该几何直线的一个“小部分”。无穷小微积分倡导者就是这么想的,只有超实数轴才可以与几何直线“相提并论”。为什么?

我们注意以下不等式成立:(n为自然数)

                        1234...n......< H     (H为某个确定正的超整数)

       人们不解:为何在“有限”的闭区间[0,H]内,存在无限的自然数序列?注意:超整数H当然是超实数数轴上的确定“有限数”。实际上,这种“有限性”正是我们日常生活中所经常遇见的那种“无限性”。比如:有一位旅客进入北京饭店(在王府井的西南边)要求“入住”。接待员立即给他办理“入住”手续,而不问当时宾馆实际上有没有“空房”。这是为什么呢?这是因为,宾馆很大,尽管住房的总数是有限的,但是,随时都会有旅客要求“退房”离开宾馆去机场。这就是在有限中有无限的道理。这就是捷克数学家Vopenka所创立的“另一种集合论”(Alternative Set Theory)的现实根据。

         新西兰数学家哥德布拉特(Robert Goldblatt)在《超实讲义》第一章第三节第14页结束语中说“...the geometric line is capable of sustaining a much rich and more intricatic number set than the real line.”意思 是说,几何直线能够承载远比实数轴更丰富、更复杂的”数集“。

           数学是人类探索未知世界的有力武器,而数学家的最大”对手“就是”无限性”,而无限性的本质,至今谁也说不很清楚。清明节忆故人,中科院计算所研究员张锦文(1930-1992年?,北京大学数学力学系毕业)是我国公理化集合论及无限性探索的先驱之一。张锦文是我们国内无穷小微积分的倡导者,我只是他的一个小帮手。如今,他人已经先走了(已故)二十多年。但是,我仍然愿意遵循着他的遗愿,在国内继续推动、普及无穷小微积分的神圣事业。

            为探究超直线的无限远处的实际情况,J.Keisler发明了一种很奇妙的数学望远镜,透过这付望远镜,可以看到几何直线遥远处的无数“银河”(Galaxy),永无止境。几何直线的最终“端点”究竟在何处,谁也说不清楚。我们平时常见的实数轴(实数连续统)只是几何直线上的一个”主银河“。我们生活在“主银河”的中心地带,有人偷着在发笑,以为自己已经拥有了全世界(或全宇宙)。

          几何学博大精深,我们的实数连续统只占据了几何直线的极小部分,还有巨大的未开垦“处女地”在等着我们去探索。孩子们是我们的未来,他们的眼光应该看得比我们更远一些。在高中阶段,向学生们讲解(或灌输)无穷小微积分的观念,绝对没有害处。(注:无穷小学说不是现代数学的“邪教”。)







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