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袖珍电子书:关于初等函数的历史由来 - 袁萌专栏

[日期:2013-03-28] 来源:  作者: [字体: ]

      说句实在话,任何历史问题研究都是为现在的事情服务的,研究者心中都有某种“鬼胎”。探究初等函数的历史由来,目的也是如此。我们要说明什么问题呢?

          我们先把问题说清楚。根据有关研究,“All six trigonometric functions in current use were known in Islamic Mathematics by the 9th century”,也就是说,我们现今所用的6个三角函数在9世纪伊斯兰教的数学中都有了,在中世纪(Mediaeval period)才得以进一步发展,主要用于求解三角形问题。这些函数之间的”关系“(所谓三角恒等式)早就弄清楚了,将其列出表格加以公布。三角函数用于微积分学那是很久以后的事情了。

          在物理学、化学、工程技术、数理生物学、经济学与数学研究中,我们遇到一种现象:”whenever a quantity grows or decays at a rate proportional to its current value“,意思是说,某个数量的增加或减少与其现在的数值成比例,比如,计算连续变动的利率。这是我们在日常生活中所经常遇到的一种“数学现象”。使用微积分学的求导工具,不难发现,这种数量依存关系就是指数函数。

             1683年,这类实际问题的研究最终导致Jacod Bernoulli发现极限

\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

的存在。后来,人们称其称为数”e”。进一步,在1697年,Johann Bernoulli在微积分学的研究中引入以数“e”为底的指数函数:y= exp(x)

           从历史发展来看,三角函数在前,指数函数在后;前者为求解三角形问题服务,后者为一类人们经常遇见的数量等比增长情况服务。很明显的事实是:后者的应用面远比前者要广泛(或宽泛),两者不可“同日而语”。这是客观事实,我们必须面对。

         非常奇怪的是,国内普通高中把数学教学的主要内容(或重点方向)放在三角函数的恒等变换(技能训练),而把指数函数(概念理解)放在次要位置,与俄罗斯中等普及教育的课程安排“迥然相异”,而不知反省自己。难道要求我们的中学毕业生天天只会求解三角形?我们不妨把中国与俄罗斯的中学毕业生的脑壳打开来看看:一个满脑袋是三角函数恒等式,一个是满脑袋是指数函数应用。社会招聘劳动力(技术工种)需要谁?答案是很明显的。

            俄罗斯从上世纪三十年代就开始探索把微积分“下放”到中学阶段,直到1975年,在俄罗斯境内全面铺开。至今,三十多年过去了。俄罗斯社会劳动力的知识素养明显高于我们国内。一个懂得“指数变化”现象的年轻人要比指数知识文盲强很多,不论在哪一方面。当今,中国要复兴(中国梦),要建设强大国家,指数函数不得不及早引入高中阶段(放在重点位置),因而,微积分初步下放中学是迟早的事情。








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