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浅谈算法和数据结构(12):无向图相关算法基础

[日期:2014-11-14] 来源:博客园  作者:寒江独钓 [字体: ]

从这篇文章开始介绍图相关的算法,这也是Algorithms在线课程第二部分的第一次课程笔记。 图的应用很广泛,也有很多非常有用的算法,当然也有很多待解决的问题,根据性质,图可以分为无向图和有向图。本文先介绍无向图,后文再介绍有向图。 之所以要研究图,是因为图在生活中应用比较广泛:

无向图

图是若干个顶点(Vertices)和边(Edges)相互连接组成的。边仅由两个顶点连接,并且没有方向的图称为无向图。 在研究图之前,有一些定义需要明确,下图中表示了图的一些基本属性的含义,这里就不多说明。

图的API 表示

在研究图之前,我们需要选用适当的数据结构来表示图,有时候,我们常被我们的直觉欺骗,如下图,这两个其实是一样的,这其实也是一个研究问题,就是如何判断图的形态。 要用计算机处理图,我们可以抽象出以下的表示图的API:   Graph的API的实现可以由多种不同的数据结构来表示,最基本的是维护一系列边的集合,如下: 还可以使用邻接矩阵来表示: 也可以使用邻接列表来表示: 由于采用如上方式具有比较好的灵活性,采用邻接列表来表示的话,可以定义如下数据结构来表示一个Graph对象。

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public class Graph
{
    private readonly int verticals;//顶点个数
    private int edges;//边的个数
    private List<int>[] adjacency;//顶点联接列表
 
    public Graph(int vertical)
    {
        this.verticals = vertical;
        this.edges = 0;
        adjacency=new List<int>[vertical];
        for (int v = 0; v < vertical; v++)
        {
            adjacency[v]=new List<int>();
        }
    }
 
    public int GetVerticals ()
    {
        return verticals;
    }
 
    public int GetEdges()
    {
        return edges;
    }
 
    public void AddEdge(int verticalStart, int verticalEnd)
    {
        adjacency[verticalStart].Add(verticalEnd);
        adjacency[verticalEnd].Add(verticalStart);
        edges++;
    }
 
    public List<int> GetAdjacency(int vetical)
    {
        return adjacency[vetical];
    }
}

图也分为稀疏图和稠密图两种,如下图: 在这两个图中,顶点个数均为50,但是稀疏图中只有200个边,稠密图中有1000个边。在现实生活中,大部分都是稀疏图,即顶点很多,但是顶点的平均度比较小。

采用以上三种表示方式的效率如下:

在讨论完图的表示之后,我们来看下在图中比较重要的一种算法,即深度优先算法:

深度优先算法

在谈论深度优先算法之前,我们可以先看看迷宫探索问题。下面是一个迷宫和图之间的对应关系: 迷宫中的每一个交会点代表图中的一个顶点,每一条通道对应一个边。 迷宫探索可以采用Trémaux绳索探索法。即:

  • 在身后放一个绳子
  • 访问到的每一个地方放一个绳索标记访问到的交会点和通道
  • 当遇到已经访问过的地方,沿着绳索回退到之前没有访问过的地方:

图示如下:

下面是迷宫探索的一个小动画:

深度优先搜索算法模拟迷宫探索。在实际的图处理算法中,我们通常将图的表示和图的处理逻辑分开来。所以算法的整体设计模式如下:

  • 创建一个Graph对象
  • 将Graph对象传给图算法处理对象,如一个Paths对象
  • 然后查询处理后的结果来获取信息

下面是深度优先的基本代码,我们可以看到,递归调用dfs方法,在调用之前判断该节点是否已经被访问过。

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public class DepthFirstSearch
{
    private bool[] marked;//记录顶点是否被标记
    private int count;//记录查找次数
 
    private DepthFirstSearch(Graph g, int v)
    {
        marked = new bool[g.GetVerticals()];
        dfs(g, v);
    }
 
    private void dfs(Graph g, int v)
    {
        marked[v] = true;
        count++;
        foreach (int vertical in g.GetAdjacency(v))
        {
            if (!marked[vertical])
                dfs(g,vertical);
        }
    }
 
    public bool IsMarked(int vertical)
    {
        return marked[vertical];
    }
 
    public int Count()
    {
        return count;
    }
}

试验一个算法最简单的办法是找一个简单的例子来实现。

深度优先路径查询

有了这个基础,我们可以实现基于深度优先的路径查询,要实现路径查询,我们必须定义一个变量来记录所探索到的路径。 所以在上面的基础上定义一个edgesTo变量来后向记录所有到s的顶点的记录,和仅记录从当前节点到起始节点不同,我们记录图中的每一个节点到开始节点的路径。为了完成这一日任务,通过设置edgesTo[w]=v,我们记录从v到w的边,换句话说,v-w是做后一条从s到达w的边。 edgesTo[]其实是一个指向其父节点的树。

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public class DepthFirstPaths
{
    private bool[] marked;//记录是否被dfs访问过
    private int[] edgesTo;//记录最后一个到当前节点的顶点
    private int s;//搜索的起始点
 
    public DepthFirstPaths(Graph g, int s)
    {
        marked = new bool[g.GetVerticals()];
        edgesTo = new int[g.GetVerticals()];
        this.s = s;
        dfs(g, s);
    }
 
    private void dfs(Graph g, int v)
    {
        marked[v] = true;
        foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
        {
            if (!marked[w])
            {
                edgesTo[w] = v;
                dfs(g,w);
            }
        }
    }
 
    public bool HasPathTo(int v)
    {
        return marked[v];
    }
 
    public Stack<int> PathTo(int v)
    {
 
        if (!HasPathTo(v)) return null;
        Stack<int> path = new Stack<int>();
 
        for (int x = v; x!=s; x=edgesTo[x])
        {
            path.Push(x);
        }
        path.Push(s);
        return path;
    }
}

上图中是黑色线条表示 深度优先搜索中,所有定点到原点0的路径, 他是通过edgeTo[]这个变量记录的,可以从右边可以看出,他其实是一颗树,树根即是原点,每个子节点到树根的路径即是从原点到该子节点的路径。 下图是深度优先搜索算法的一个简单例子的追踪。 

广度优先算法

通常我们更关注的是一类单源最短路径的问题,那就是给定一个图和一个源S,是否存在一条从s到给定定点v的路径,如果存在,找出最短的那条(这里最 短定义为边的条数最小) 深度优先算法是将未被访问的节点放到一个堆中(stack),虽然在上面的代码中没有明确在代码中写stack,但是 递归 间接的利用递归堆实现了这一原理。 和深度优先算法不同, 广度优先是将所有未被访问的节点放到了队列中。其主要原理是:

  • 将 s放到FIFO中,并且将s标记为已访问
  • 重复直到队列为空
  1. 移除最近最近添加的顶点v
  2. 将v未被访问的节点添加到队列中
  3. 标记他们为已经访问

广度优先是以距离递增的方式来搜索路径的。

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class BreadthFirstSearch
{
    private bool[] marked;
    private int[] edgeTo;
    private int sourceVetical;//Source vertical
 
    public BreadthFirstSearch(Graph g, int s)
    {
        marked=new bool[g.GetVerticals()];
        edgeTo=new int[g.GetVerticals()];
        this.sourceVetical = s;
        bfs(g, s);
    }
 
    private void bfs(Graph g, int s)
    {
        Queue<int> queue = new Queue<int>();
        marked[s] = true;
        queue.Enqueue(s);
        while (queue.Count()!=0)
        {
            int v = queue.Dequeue();
            foreach (int w in g.GetAdjacency(v))
            {
                if (!marked[w])
                {
                    edgeTo[w] = v;
                    marked[w] = true;
                    queue.Enqueue(w);
                }
            }
        }
    }
 
    public bool HasPathTo(int v)
    {
        return marked[v];
    }
 
    public Stack<int> PathTo(int v)
    {
        if (!HasPathTo(v)) return null;
 
        Stack<int> path = new Stack<int>();
        for (int x = v; x!=sourceVetical; x=edgeTo[x])
        {
            path.Push(x);
        }
        path.Push(sourceVetical);
        return path;
    }
 
}

广度优先算法的搜索步骤如下:

广度优先搜索首先是在距离起始点为1的范围内的所有邻接点中查找有没有到达目标结点的对象,如果没有,继续前进在距离起始点为2的范围内查找,依次向前推进。

总结

本文简要介绍了无向图中的深度优先和广度优先算法,这两种算法时图处理算法中的最基础算法,也是后续更复杂算法的基础。其中图的表示,图算法与表示 的分离这种思想在后续的算法介绍中会一直沿用,下文将讲解无向图中深度优先和广度优先的应用,以及利用这两种基本算法解决实际问题的应用。





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